Quenched limits for transient, ballistic, sub-Gaussian one-dimensional random walk in random environment

We consider a nearest-neighbor, one-dimensional random walk {Xn}n≥0 in a random i.i.d. environment, in the regime where the walk is transient with speed vP > 0 and there exists an s ∈ (1,2) such that the annealed law of n−1/s(Xn − nvP ) converges to a stable law of parameter s. Under the quenched law (i.e., conditioned on the environment), we show that no limit laws are possible. In particular we show that there exist sequences {tk} and {t ′ k} depending on the environment only, such that a quenched central limit theorem holds along the subsequence tk , but the quenched limiting distribution along the subsequence t ′ k is a centered reverse exponential distribution. This complements the results of a recent paper of Peterson and Zeitouni (arXiv:math/0704.1778v1 [math.PR]) which handled the case when the parameter s ∈ (0,1). Résumé. On examine des marches aléatoires unidimensionnelles en milieu aléatoire avec un environnement i.i.d., dans le régime où la marche est transiente avec vitesse vP > 0 et où il existe s ∈ (1,2) tel que la loi “annealed” (i.e., moyennée) de n−1/s(Xn−nvP ) converge vers une loi stable de paramètre s. Sous la loi “quenched” (i.e. conditionnelement à l’environnement) on montre qu’il n’existe pas de loi limite. En particulier on prouve qu’il existe des suites {tk} et {t ′ k}, dépendant de l’environnement, tel qu’un théorème de limite centrale quenched est valide le long de la suite tk , mais où la distribution limite suivant la suite t ′ k est une distribution centrée exponentielle inverse. Ceci complète les résultats d’un article récent de Peterson et Zeitouni (arXiv:math/0704.1778v1 [math.PR]) qui traitait le case de paramètre s ∈ (0,1). MSC: Primary 60K37; secondary 60F05; 82C41; 82D30